Czy jest obowiązek wystawienia faktury mimo braku umowy z kontrahentem

Y spółka z o.o. (podatnik VAT czynny) działa w branży wodno-kanalizacyjnej. Spółka m.in. odbiera hurtowo i oczyszcza ścieki z terenu miasta. Do 31 października 2022 r. odbiór i czyszczenie ścieków z miasta X odbywał się w oparciu o porozumienie zawarte z tamtejszą spółką komunalną. Porozumienie to uległo rozwiązaniu w związku z modernizacją oczyszczalni, a strony nie porozumiały się co do warunków kolejnej umowy. Spółka Y nadal jednak odbiera i oczyszcza ścieki z miasta X i świadczoną usługę fakturuje w oparciu o swoją kalkulację kosztów. Kontrahent reguluje faktury w niepełnej wysokości (w związku z kwestionowaniem zasadności wprowadzenia nowych cen). Czy spółka w zaistniałej sytuacji (biorąc pod uwagę brak pisemnej umowy) nadal powinna obciążać kontrahenta za oczyszczenie ścieków wystawiając fakturę? A może należy tu wystawić notę księgową?