Co ma zrobić pracodawca, który wypłacił pracownikowi nienależne wynagrodzenie

W wyniku weryfikacji dokumentacji okazało się, że pracownik - na podstawie niepełnego zaświadczenia o wypłaconych zasiłkach, miał błędnie zaliczony do stażu pracy okres od 1 stycznia 2019 r. do 10 lipca 2019 r. Jak się okazało, był to okres pobierania zasiłku macierzyńskiego po ustaniu zatrudnienia, a nie okres pozostawania w stosunku pracy (umowa rozwiązana za porozumieniem stron). Tym samym nie powinien być uwzględniony w stażu pracy, a dodatek stażowy został w ten sposób zawyżony. Jeśli dobrze myślę, to w praktyce oznacza to, że dodatek stażowy pracownika ulegnie obniżeniu. Czy w takim przypadku należy poinformować pracownika na piśmie o korekcie stażu i obniżeniu dodatku stażowego? Jeżeli tak, to w jakiej formie powinna być przekazana taka informacja? Czy wystarczy pismo informujące, czy też wymagane jest wypowiedzenie zmieniające (art. 42 Kodeksu pracy)? Czy biorąc pod uwagę, że temat był już z pracownikiem omawiany, a faktycznie wynagrodzenie było zawyżane w związku z błędem, można ograniczyć się do dokonania korekty (usunięcia z ewidencji w programie tego okresu) i wypłacania dodatku w prawidłowej wysokości bez dodatkowych formalności?