Czy gmina powinna wystawić refakturę czy notę obciążeniową przy współfinansowaniu prac geodezyjnych przez gminę i powiat

Gmina - czynny podatnik VAT podpisała porozumienie z Powiatem na partycypację w kosztach związanych z przeprowadzeniem prac geodezyjnych, polegającą na podziale nieruchomości Skarbu Państwa. Strony zgodnie ustaliły, że koszty prac poniosą po połowie. Ostateczna faktura od geodety będzie wystawiona na Gminę. Aby obciążyć Powiat połową kosztów Gmina powinna wystawić refakturę czy notę obciążeniową? Jeśli refakturę, to czy Gmina będzie miała prawo odliczyć VAT z faktury pierwotne j w takiej samej wysokości jaką obciąży Powiat?