Czy wypowiedzenie umowy o pracę poprzez e-mail jest ważne

Jedna z pracujących w moim biurze księgowych ewidentnie nienależycie księgowała klientów, gdyż jak się okazało – znalazła sobie jeszcze dodatkowe zatrudnienie, wykorzystując fakt wykonywania pracy częściowo zdalnie. Odbyłyśmy rozmowę, w której nie wykazała żadnej skruchy ani chęci poprawy. Zarzucała mi tylko, że za mało jej płacę, co absolutnie nie było prawdą. Następnego dnia rano wysłałam do niej wiadomość e-mail, że zostaje zwolniona. Miałam zamiar dać jej wypowiedzenie na piśmie tego samego dnia, lecz przyszła do mnie zapłakana i prosiła, żebym nie wypowiadała jej umowy o pracę, bo ma trudną sytuację rodzinną i mieszkaniową. Zmiękłam, nie dałam jej wypowiedzenia na piśmie. Jednak po upływie okresu odpowiadającego okresowi wypowiedzenia zauważyłam, że ta pani nie przyszła do pracy. Zadzwoniłam do niej z pytaniem, czy coś się stało, na co odpowiedziała cynicznie, że znalazła nową pracę, bo przecież ją zwolniłam. Powiedziałam, że nie dałam jej zwolnienia na piśmie. Odpowiedziała, że zwolnienie przekazane jej e-mailem jest skuteczne, umowa o pracę ustała i nie mogę jej zwolnić dyscyplinarnie, bo stosunek pracy ustał. Nie mam żadnych dowodów na to, iż miała miejsce rozmowa, w której uznałyśmy, że pracujemy dalej. Ona natomiast dysponuje wiadomością e-mail, w której napisałam, że zwalniam ją. Czy samo wysłanie e-maila ma skutki wypowiedzenia i nie jest nieważne? Pani była zatrudniona na podstawie umowę o pracę na czas nieokreślony.